Apuntes de MAN: Formulación variacional de problemas elípticos

Continuando el trabajo de hace unos días, a esperas de tener tiempo suficiente como para configurar una página de la asignatura donde poder dejar los apuntes ordenadamente; hoy quiero compartir mis apuntes del tema sexto, correspondientes a la: Formulación variacional de problemas en derivadas parciales elípticos.

Los problemas elípticos, con los que tratamos de modelizar situaciones estacionarias que suelen derivar de leyes de conservación o fenómenos en los que interviene un potencial escalar, exigen ciertas propiedades a las funciones solución (continuidad de la derivada de segundo orden) que conseguimos rebajar con la formulación débil o variacional

Alcanzado este punto del problema, podemos pensar que solo resta aproximarlo con un buen método numérico, como los elementos finitos y comprobar cuál es el resultado. Sin embargo, es inútil tratar de resolver algo que no tiene solución o tiene infinitas. Derrochar esfuerzo y dinero en tratar de alcanzar resultados imposibles, o peor, alcanzar un resultado erróneo que no se corresponde con el problema real y creer que es cierto, son situaciones que podemos evitar facilmente.

Ese es el objetivo de el tema tratado en estos apuntes: comprobar que el problema que vamos a aproximar está bien planteado, es decir, tiene solución y esta es única. Para ello recurriremos a algunos conceptos algebraicos como las normas en los distintos espacios vectoriales que he incluido en un anexo de los apuntes, empleando como herramienta fundamental el teorema de Lax-Milgram:

Es un tema de elevada complejidad y, por lo tanto, no aconsejo a servirse de una única fuente de información, menos aún cuando son de elaboración “casera”. Por eso quiero remarcar, como hago a menudo, que se trata de unos apuntes de elaboración personal que solo persiguen el apoyo al estudio con otras fuentes, como libros o recursos web. Por último, advertir de la posible presencia de erratas o errores que si observáis os ruego, dejéis constancia de ella/s en un comentario.

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